近傍を変える

数学的にどうやるかわからないがアイデアだけ書いておく。

色々な数学の問題とか証明には、0近傍から考えるのがほとんどだが、

例えばそれを無限近傍でできたとしたらどうなのだろう？

また、無限近傍から0近傍を見たら、そこにも新しい景色があるのでは？

というアイデア。

（お互いに観測し合うイメージ）

無限近傍に限らず、注目ポイント近傍にずらすアイデアである。
（または、敢えて注目ポイントの正反対側に近傍をずらす）

そして、前回書いた「進数を変えて全て構築し直す」と同様に、

無限近傍とか、特定近傍で数学を全て構築し直すと、またそこから

新しい定理とか（少なくとも計算上のツールとか）なんなら

新しい「景色」だけでも収穫があるのではないだろうか？

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1+1=2 であるが、無限近傍から見れば誤差として0に近似される。

しかし0近傍ではとてつもなく正確に2を弾き出すことができるのである！

数学でも至る所で近似は出てくるが、そこで失われる情報を

他者・他視点であれば正確に補えるよね、ということ。

（プロからしたら「ただのXXX問題・XXX論・XXX分野」とかかも知れないが。。

あと計算機とかシミュレーションの性能問題とかのただの「応用数学」かも知れないが。。

ただし、このアイデアによって性能が格段にアップするなら、それはそれでいいか＾＾

ゲームとかでもマップの広さに限界があるけど、このアイデアで無限大の広さを持つ

マップも作れる、など。

・フラクタルも無限に拡大できるとか。

・微積分も微細すぎる箇所／大き過ぎる箇所に近傍変換した式を組み入れるとか（微積分に限らないが））

最初に「数学的にどうやるかわからないが」と書いたが、もしもこれができるのであれば

世の中の予想の「XXXはたかだか有限個である」とか「XはYより大きい（小さい）」とかの証明を解く手がかり（可能であれば直接的な証明）になる。

これは、つまり我々が普段使っている1とか2とか、1.1とか1/3とかの数字は完璧に

値の「定まった」ものと捉えがちであるが、無限近傍から見ると近似という

「幅を持った」値でもまた同時にある、と言えるのである！

（この辺がこのアイデアの核心かな。）

別の言い方をすれば0近傍で見る1とか2とかは近くで見てるためはっきり見えるだけ。

無限近傍で見ると、1とか2とかは観測困難なため、無限近傍では1とか2とかは

ある種統計的・確率分布的なボヤッとした「確率領域」の値となる訳である。

（普段我々0近傍の住民が無限近傍の値を近似してしまうことの裏返し。）

上記だけではただの裏返しで終わるのであるが、このボヤッとした観測状態で

各種足し算や掛け算、数々の定理や証明を再観測・再構築していけば、

「XXXはたかだか有限個である」とか「XはYより大きい（小さい）」とかの証明は

自ずから無限近傍サイドからの値の範囲・領域が見えてくるのである。

（0近傍からと無限近傍からの囲い込み漁のようなもの。）

（人類が信じて疑わなかった1とか2とか「定まった」値が、実は幅を持った

「確率的なボヤッとしたもの」であるということは相当のショックになるだろう。

しかしこれもコペルニクス的な発想の転換の類である。）

また、たとえば 1/0 と 2/0 は、（現代数学というかグラフ的な考え方では）どちらも∞（無限）である（無限の定義を間違ってたらすいません。。正確には limn→0 1 n , limn→0 2 n でしょうか。）が、その差があるかないかというと、少なくとも無限になる前は1と2の「差」という情報はある、と言えよう。

これにカオス理論を持ち出せば、カオス理論では出発点が1でも異なると、最終的な結果は大きく異なる訳である。

イメージとしては、無限に近似される前の値が、後々効いてきて無限とは正反対つまりむしろ0に近い方の値になり得る「因子」になるということである。

（または反対に、0近似してたけど、近似して消失した情報が、別要因でものすごい大きい数に「爆発」するイメージ）

数式を解く時に、部分部分で切り出したりして、まずはそこだけで無駄な情報を削ぎ落とす（近似する）というやり方があって正しいのかもしれないが、やはり全体への影響というかその辺をもう少し詳しくパラメータ抽出する必要があるのかもしれない。

この話はもしかするとプロからしたら「局所的↔︎帯域的」な問題の話だけなのかもしれないが、また現実世界としては数学分野では現状のままでいいのかもしれないが、物理学分野ではやはりこの辺の限界で影響が出てしまっている訳である。

これで数学分野がいい訳がなく、黙っている訳にはいかない事態だろう、という話。

ある分野で理論を確立するときに、重要でない・直接関係しない・直接影響を及ぼさない（と思われる）パラメータは近似させてしまって、すっきりした理論を作りがちである。（勿論ある意味当然であり、仕方ないことなのであるが。）

「その分野」だけで考えた場合はそれで良いのだろうが、他分野と「交流」する時に実はそれら削ぎ落としてしまった「情報」に実は意味があるかもしれない、という別の言い方もできる。

超統一理論とかで考えれば、何かしら超微量だが意味のある力が相互作用してるとも言えるし、宇宙際タイヒミュラー理論とかで考えれば、何かしら情報が「通信」されているはずだ、とも言える。

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宇宙の果てとか量子論の領域とか、果ては超統一理論とか、過去とか未来とか、このアイデアの応用範囲はものすごく広いのである。

（超統一理論とかは正に重力と原子レベルの力が隔たりが大き過ぎて、そこを埋める問題。）

（NHK何とかスペシャルとかで、生物の中とかの話で「そこにはXの世界が広がっているのです」とか聞いたりするが、まさにそれが正解ということ。実は至る所に多数の世界が広がっており、知らず知らずの内に宇宙間の通信をしているのである。）

（小さすぎるから、遠すぎるから分からないと言ってしまえば、そこで終わってしまうのである。しかし現実にどんなに小さくてもそこに存在し、どんなに遠くても存在して成り立っているのであるから、究極的には分からない訳は無いのである。）

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ついでに書いておくと、近年いよいよ実用段階まできたニューラルネットワークとかAIが出始めたが、そこからは、本当に仮想空間で１から社会を作って１から数学理論も「作らせる」シミュレーションを行うことになっていくだろう。

（果たして同じような理論・定理を作っていくのか？それとも新しい論理体系を築き上げるのか？そもそも10進数ベースになるのかどうか？言語や表記体系は？などなど。。。）

（仮想と現実の世界だが、果たして仮想世界に量子もつれ（エンタングルメント）は持ち込めるのだろうか？）

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2023.2.11 追記

話を分かりやすくするため、数学上に「不明」を導入するアイデアを考えました！

数学上に「不明」を導入